Aufgaben: 1) Am Anfang gab es 1000 Bakterien in einer Probe. A4: In dieser Abbildung sind die Exponentialfunktionen mit den Basen 2, 4 und 8 dargestellt. Obwohl man also den Faktor bim Exponenten von (1.36) genau 7 Das ist genau der Weg, der von (1.33) zu (1.29) f uhrt: 2 =x 2 1 x = 1 2 x. Exponential- und Logarithmusfunktionen und ihre Graphen 6 Markus Peitz • www.markus-peitz.de Zuletzt geändert am 06.09.2016 Eigenschaften der Exponentialfunktion Wir betrachten die Exponentialfunktion(en) (f x ) = a⋅bx, a∈ { }R \ 0 ; … (e 2,7182818) Bezeichnung: Die e-Funktion (auch auf dem Taschenrechner) wird häufig mit „exp“ bezeichnet. Die natürliche Exponentialfunktion ist in ganz Rdifferenzierbar und es gilt (ex)' = ex Bemerkungen: a) Jede Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion hat die Form . Ein Graph nähert sich einer Asymptote an, ohne sie zu berühren. 1 5.5. F(x) = ex +C b) Die Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenzfunktion mit positivem Expnenten d.h. bzw. Der maximale Definitionsbereich ist Ñ und der Wertebereich ist Ñ+, denn es gibt nur positive Funktionswerte und somit auch keine Nullstellen. für alle . Exponentialfunktion und Logarithmus 10. Exponentialfunktion: x → y=f(x) = ba x ; x ∈∈ℝ Logarithmus: x = log a (y /b) für y/b > 0. Exponentialfunktion zur Basis b > 1: Lösung 4 4-1 Vorkurs, Mathematik Abb. lim x → ∞ ex xr = ∞ lim x → ∞ xr ex der y-Achse. Konkrete Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen Aufgabe 1: Kurvenuntersuchung, Integration (10) Über ein Ventil kann das Wasservolumen in einem Wasserbehälter geregelt werden. Graph und Asymptote kommen sich „unendlich nahe“. Sie haben gleiche Definitions- und Wertebereiche, den Schnittpunkt S = (0, 1) mit der y-Achse, sie sind monoton wachsend und haben die x-Achse als horizontale Asymptote. Mit anderen Worten: Der Term einer Exponentialfunktion l asst sich immer auf eine Form bringen, in der b= 1 ist. Dabei sind die Basis a>0 … Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Gleichung f ( x ) = e x, wobei e die Eulersche Zahl ist. Exponentialfunktionen Eine Exponentialfunktion ist gegeben durch: f(x) = ax mit a > 0 (und a ∫ 1). Aufgaben Exponentialfunktion Wir gehen hier xvon der Form f(x)=b∙a für die Exponentialfunktion aus. In der Oberstufe wird hierfür oft i vf :x ;b∙e geschrieben mit der Euler’schen Zahl e. Dann wäre hier k = ln(a) oder a = ek. lnx f¨ur alle x > 0. Funktionen 3 Funktionen 3.1 Grundlagen 3.1.1 Definition 4 2 2 4 0 2 4 2 4 b Funktion f(x) 4 2 2 4 0 2 4 2 4 b b Keine Funktion g(x) Jedem Element x aus der Definitionsmenge D wird genau (Beweis: Setzen wir y = loga x, so ist x = expa y = ay.Demnach ist 1 lna lnx = 1 lna lna y = 1 lnaylna = y.) Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion einfach erklärt Aufgaben mit Lösungen Zusammenfassung als PDF Jetzt kostenlos dieses Thema lernen! Mathe-Lernzettel - Auslastungsmodell: In einer Reifenhandlung arbeiten 10 Monteure, die eine Maschine zum auswuchten der Radfelgen durchschnittlich für 24 Minuten pro Stunde benötigen. Die entscheidende Eigenschaft der e-Funktion ist ihre Benutzerfreundlichkeit beim Ableiten: f ´( x ) = ex Klasse Gymnasium Voraussetzungen: Beherrschung der Rechenregeln für Potenzen, Exponenten, Logarithmus. Fur die speziellen Werte¨ a = 2,e,10 gibt es besondere Bezeichnungen f¨ur log a: ld = log2 der dyadische Logarithmus (oder Logarithmus dualis) Dipl.-Math. • Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle, kommt aber der x-Achse beliebig nahe (Asymptote). • Die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = bx und g (x) = (__1 b) x sind symmetrisch zueinander bzgl.